Immer wieder tauchen in sozialen Medien Listen mit Titeln auf wie: „Das sind die fünf wichtigsten Gleichungen der Physik“. Postings, die Instant-Erleuchtung versprechen: Alles, was du in der Schule oder der Uni noch nie kapiert hast, versprechen sie, wird dir hier erklärt.

Oder auch nicht. Meistens jedenfalls. Denn auch wenn die Beiträge recht gut sind, wie kürzlich bei Wired, können sie unmöglich „Das Wichtigste“ in nur fünf Punkten abhaken. Allein die Liste physikalischer Gleichungen in der klassischen Mechanik ist locker fünfmal so lang. Und das ist nur eines von zahlreichen Themengebieten in der Physik.

Aber das Unterfangen ist nicht gänzlich zum Scheitern verurteilt – wenn man es ein wenig anders angeht. Denn Mathematik ist ja bekanntlich auch nur eine Art von Sprache. Eine Möglichkeit, nicht im Formeldschungel der Physik unterzugehen, besteht darin, die Mathematik wieder in Umgangssprache zu übersetzen. Denn in jeder Formel steckt eine grundsätzliche Idee, die in der mathematischen Formulierung gewissermaßen zum praktischen Arbeiten gebracht wird.

Und das Gute ist: Es gibt gar nicht so viele grundsätzliche physikalische Ideen. Jedenfalls viel, viel weniger, als es Formeln gibt. Daher lassen sich physikalische Formeln in einige grundsätzlich unterschiedliche Typen einteilen. Wenn man die kennt, hat man schon viel gewonnen.

In Ermangelung eines besseren Begriffs nenne ich die einfachste Art von Formeln „Mathematikmaschine“. Denn so funktioniert sie: Man steckt eine physikalische Messgröße hinein und kann berechnen, welchen Wert eine andere, damit zusammenhängende Größe hat.

U = R ⁢ I

Das berühmte „Ohmsche Gesetz“ ist so ein Ding: Wenn man einen Strom von soundsoviel Ampere durch einen Widerstand fließen lässt, liegt an dem Widerstand eine Spannung an, die sich mithilfe der Formel berechnen lässt.

Das Ganze funktioniert natürlich auch umgekehrt: Aus der Spannung lässt sich der Strom berechnen. Strom und Spannung sind „proportional“. Der Widerstand in dieser Gleichung ist so etwas wie ein Stellrädchen der mathematischen Maschine – dreht man an seinem Wert, ändert sich das Zahlenverhältnis zwischen Spannung und Strom. Aber Achtung, manchmal tauchen in solchen Formeln auch Faktoren auf, die nicht veränderlich sind. Das sind sogenannte Naturkonstanten. Die Gleichung

c = λ ⁢ ν

sagt, dass das Produkt aus Frequenz und Wellenlänge bei einer elektromagnetischen Welle (aka Licht) immer konstant ist. c steht für die Lichtgeschwindigkeit. Und die ist immer konstant.

Die zweite Kategorie physikalischer Formeln beschreibt, wie physikalische Eigenschaften eines Systems sich ändern, wenn man an den Bedingungen dieses physikalischen Systems herumfummelt. Kling wahnsinnig abstrakt, ist aber extrem nützlich. Wenn ich zum Beispiel einen Lichtstrahl einer bestimmten Intensität durch ein absorbierendes Medium schicke, schluckt dieses Medium an jeder Stelle des Weges einen gewissen Prozentsatz des Lichtes. Mit anderen Worten: Die Änderung der Intensität bezogen auf den Ort ist proportional zur Intensität an diesem Ort. Das wird oft mit mathematischen Ableitungen beschrieben:

d I d x = - μ I ( x )

Dabei ist das kleine, griechische Mü der Absorbtionskoeffizient. Viel wichtiger als der komplizierte Name ist aber die Folgendes: Wenn die Änderung einer Größe proportional zu der Größe selbst ist, dann ist die Lösung eine Exponentialfunktion – vielleicht ist die Kurve ja noch aus Covid-Zeiten bekannt, sie taucht aber auch im Zusammenhang mit dem Klimawandel immer mal wieder auf.

I = I 0 ⁢ e - μ ⁢ x

Ein Spezialfall solcher Formeln bezieht sich auf zeitliche Veränderungen. Die mathematische Lösung dieser *Bewegungsgleichungen“ ist dann wiederum eine Formel, mit der man berechnen kann, wie sich das System in der Zukunft verhält – also eine Art Vorhersagemodell.

Die Bewegungsgleichung selbst lässt sich meist recht einfach in eine Formel gießen – ihre mathematische Lösung ist eine ganz andere Sache. Ein (einfaches) Beispiel: Bewegt sich ein Objekt mit konstanter Geschwindigkeit, ist die Änderung des Ortes mit der Zeit – konstant.

d x d t = v

Die Lösung dafür ist:

x ( t ) = v ⁢ t

Ja, das ist ein sehr einfaches Beispiel. Aber auch kompliziertere Bewegungsgleichungen funktionieren genau so.

Eine Sonderform von Formeln, die zeitliche Veränderungen behandeln, muss hier unbedingt noch erwähnt werden: Die Wellengleichung. Wellen entstehen, wenn ein Medium, das im ganzen Raum miteinander verbunden ist, an einer Stelle gestört – ausgelenkt – wird. Der berühmte Stein, der ins Wasser geworfen wird. Die Wellengleichung beschreibt das in mathematischer Form: Die zeitliche Änderung der Geschwindigkeit des Mediums an einem Punkt ist proportional zur Änderung der räumlichen Änderung des Mediums.

∂ 2 t 2 φ = v 2 ∂ 2 x 2 φ

Das wirklich Coole an der Sache ist, dass die berühmte Schrödingergleichung aus der Quantenmechanik, die die zeitliche Veränderung eines Quantensystems beschreibt, eine ganz ähnliche Struktur hat. Deswegen wird das Psi-Symbol in der Gleichung auch als Wellenfunktion bezeichnet.

i ⁢ ℏ ∂ ψ ∂ t = - ℏ 2 2 ⁢ m ∂ 2 ψ ∂ x 2 + U ( x ) ψ

Und hier für alle, die auf der nächsten Party als Physik-Nerds auftrumpfen wollen, noch eine zweite Formulierung der Schrödingergleichung, die im Prinzip genau dasselbe beschreibt. Nur dass das H mit dem Dach eine Matrix ist und der griechische Buchstabe Psi in den eckigen Klammern einen Vektor darstellt.

i ⁢ ℏ d ⟨ ψ | d t = H ^ ⁢ | ψ ⟩

Bevor wir zu tief in den Kaninchenbau abtauchen, will ich an dieser Stelle nur noch eine Kategorie von Formeln erwähnen, die in der Physik auch immer wieder auftauchen. Das sind die sogenannten Erhaltungssätze. Soll heißen: Es sind Formeln, die auf der Idee beruhen, dass bestimmte Dinge in geschlossenen Systemen erhalten bleiben – also weder erzeugt werden noch verschwinden. Das betrifft zum Beispiel Energie, Impuls (das Produkt aus Masse mal Geschwindigkeit) und elektrische Ladung. Die Kirchhoffsche Knotenregel aus der Elektrotechnik besagt einfach nur, dass Ladung erhalten bleibt: Wenn an einer Stelle Elektronen in einen Knoten von miteinander verbundenen Drähten hineinfliegen, müssen die irgendwo wieder auftauchen. Dasselbe gilt für die berüchtigte Bernoulli-Gleichung aus der Strömungsmechnik. Auch die sagt im Grunde genommen nur aus, dass alles, was in ein Volumen hineinströmt, auch wieder herausströmen muss. Wenn man also den Querschnitt eines Rohres kleiner macht, erhöht sich an der Stelle die Strömungsgeschwindigkeit. Eigentlich logisch, oder?